Asignar una clase con submit

const $home = document.getElementById("home");

$form.addEventListener("submit", event => {
   event.preventDefault() //para quitar que el formulario recarge siempre la pagina
   $home.classList.add('search-active')
});

Si tenemos que asignar clases o stylos a mas de un elemento lo mejor es realizar una función y llamarla con el Submit.

function showModal() {
   $overlay.classList.add('active'); // añade la clase active
   $modal.style.animation = 'modalIn .8s forwards'; // añade el estilo modalIn de 8 segundos se queda en la posición final.
};